Расчеты переходных процессов в электрических сетях / хабр

7.5. Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем заключается сущность операторного метода расчета цепи?

2. Что такое операторное сопротивление цепи?

3. Что такое операторные схемы замещения при составлении эквивалентной операторной схемы?

4. Чем заменяются индуктивности и емкости в операторной схеме замещения?

5. Как учитываются независимые начальные условия?

6. Записать закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме.

7. Что такое единичная функция и d-функция?

8. Что понимается под операторной передаточной функцией? Каковы ее свойства?

9. Каким образом можно перейти от изображения к оригиналу?

10. Для схемы, изображенной на рис. 7.7, операторным методом определить напряжение на конденсаторе u_C(t). U = 20 В; R₁ = = R₂ = 100 Ом; С = 4 мкФ.

Ответ: u_C(t) = 10 – , В.

11. Для схемы, изображенной на рис. 7.8, найти изображение тока I₂(p).

Ответ: I₂(p) = .

12. Зная изображение тока (рис. 7.8), определить оригинал i₂(t).

Ответ: i₂(t) = 2,5 – 0,825 .

13. Для схемы, изображенной на рис. 7.9, определить: 1) операторную передаточную функцию H_u(p); 2) найти АЧХ цепи. Ответ:

2.1.1. Основные понятия о переменном токе

Переменным
называется ток (ЭДС и напряжение),
периодически изменяющий свои направления
и величину. Полный период изменения
тока называется обычно периодом
переменного тока и обозначается буквой
T, а число периодов в одну секунду
называется частой f и определяется как:

f
=
.

Единица
измерения частоты
носит название герц (Гц).

В
более узком смысле под переменным током
принято понимать такой периодически
изменяющийся ток, среднее значение
которого за период равно нулю (рис.
2.1).

Рис.
2.1

В
области производства, передачи энергии
переменный ток имеет по сравнению с
постоянным два основных преимущества:

1)
возможность (при помощи трансформаторов)
просто и экономично повышать и понижать
напряжение, что имеет решающее значение
для передачи энергии на большие
расстояния;

2)
конструктивную простоту устройства
электродвигателей и генераторов, что
обуславливает их меньшую стоимость при
более высокой эксплуатационной
надёжности. Источниками электрической
энергии в цепях переменного тока являются
генераторы переменного тока.

9.7. Связь между временными и частотными характеристиками электрических цепей

Временной и частотный методы анализа переходных процессов базируются на двух взаимосвязанных характеристиках электрических цепей: импульсной или переходной, с одной стороны, и комплексной передаточной функции, с другой. Между этими характеристиками существует однозначное соответствие. Определим эту связь. Допустим, что на вход пассивной электрической цепи с комплексной передаточной функцией H(jw) приложено воздействие в виде единичной импульсной функции. Тогда с учетом того, что спектр единичного импульсного сигнала равен единице, спектр выходного сигнала согласно (9.51) будет:

Обратное преобразование (9.7) определит выходной сигнал f₂(t), который численно равен импульсной характеристике цепи:

Аналогично с учетом условия физической реализуемости (8.14) можно записать прямое преобразование Фурье:

Таким образом, приходим к важному выводу: импульсная и комплексная передаточные функции пассивной электрической цепи связаны между собой парой преобразования Фурье (9.62) и (9.63). А это, в свою очередь, означает, что импульсная характеристика однозначным образом определяет комплексную передаточную функцию цепи и наоборот

Причем, для h(t) и H(jw) справедливы все свойства и теоремы. Основные теоремы спектрального анализа. В частности, из теоремы изменения масштаба независимого переменного следует, что чем более растянута во времени импульсная характеристика цепи, тем уже ее АЧХ и наоборот. Условия безыскаженной передачи сигналов через линейную цепь было показано, что для неискажающей линейной цепи АЧХ должна быть равномерна, а это соответствует согласно (9.40) импульсной характеристике цепи в виде d-функции, что полностью подтверждает изложенное.

Связь комплексной передаточной функции с переходной характеристикой также определяется однозначно, поскольку последняя связана соотношением (8.2) с импульсной характеристикой цепи. Для установления этой связи можно воспользоваться интегральным представлением единичной функции (9.58):

с учетом формулы Эйлера (3.18) перепишем (9.64):

Если ко входу электрической цепи с передаточной функцией H(jw) = |H(jw)|ejj(w) приложена единичная функция (9.65), то сигнал на выходе цепи будет численно равен переходной характеристики g(t), спектр которой определяется согласно (9.51), где . Тогда после применения обратного преобразования Фурье с учетом (9.65) получим:

или

где

Таким образом, зная Н(jw), можно найти с помощью (9.66) также и g(t)

Важно отметить предельное соотношение между g(t) и Н(jw), вытекающее непосредственно из свойств (7.17)—(7.18) и связи между преобразованием Фурье и Лапласа:

Эти соотношения означают, что реакция на выходе цепи от единичного воздействия в установившемся режиме будет отлична от нуля, если передаточная функция на нулевой частоте не равна нулю (есть путь постоянной составляющей). И напротив, в начальный момент при t = 0 (момент коммутации) реакция на выходе будет изменяться скачком, если Н(¥) — не равна нулю, т. е. цепь имеет бесконечно большую полосу пропускания. Рассмотренные соотношения хорошо иллюстрируются условиями пропускания сигнала через линейную цепь.

В заключение рассмотрим связь между вещественной Н₁(w) и мнимой Н₂(w) частями комплексной передаточной функции (4.7). Перепишем (9.62) в форме

Отсюда, учитывая (4.7) и (4.8), получаем

Согласно условия физической реализуемости (8.14) при t < 0 h(t) = 0, поэтому (9.69) принимает вид

Отсюда, почленно складывая и вычитая (9.69) и (9.70), получаем уравнения связи импульсной характеристики с вещественной и мнимой частями комплексной передаточной функции H(jw):

Таким образом, для нахождения импульсной характеристики цепи достаточно воспользоваться частотной зависимостью только вещественной или мнимой частей H(jw). Из (9.71) следует также важный вывод о том, что нельзя независимо выбирать вещественную и мнимую части передаточной функции или, что то же самое, нельзя произвольно выбирать АЧХ и ФЧХ цепи, так как они связаны между собой определенной зависимостью (4.9), (4.10).

7.3. Расчет переходных процессов операторным методом

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме. Рассмотрим, например, последовательный RLC-контур (см. рис. 6.14), находящийся при ненулевых начальных условиях u_C(0_–) ¹ 0; i_L(0_–) ¹ 0. Для этого контура уравнение по ЗНК имеет вид:

Применив к (7.33) прямое преобразование Лапласа и принимая во внимание свойства линейности, дифференцирования и интегрирования оригинала получим:

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной цепи:

где U(p) = U(p) + Li(0) — u_C(0)/p носит название операторного напряжения; Z(p) = R + pL + 1/pC — операторного сопротивления цепи. Если в Z(p) заменить р на jw, то получим комплексное сопротивление цепи. Величины Li(0) и u_C(0)/p называют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в L и С к моменту коммутации. Величина, обратная Z(p) называется операторной проводимостью цепи:

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в операторной форме:

первый закон (ЗТК)

второй закон (ЗНК)

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичным этим же законам в комплексной форме (см. (3.48)—(3.50)) с той лишь разницей, что в (7.37) в каждой из п ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют дополнительные расчетные источники L_ki_k(0) и —u_Ck(0)/р, положительное направление которых совпадает с выбранным положительным направлением тока в этой ветви.

Используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно найти изображения искомых токов и напряжений в цепи. Для определения оригиналов токов и напряжений можно воспользоваться либо таблицами оригиналов и изображений, либо применить теорему разложения.

Для иллюстрации основных теоретических положений найдем операторным методом закон изменения тока в последовательном RLC-контуре при включении его на источник постоянного напряжения. Уравнение для изображения тока можно найти по закону Ома для нулевых начальных условий (7.35) с учетом изображения постоянного напряжения U(p) U/p:

Найдем корни характеристического уравнения

При R > 2r корни будут вещественны и различны. Для нахождения оригинала тока i(t) воспользуемся теоремой разложения (7.30). Для этого найдем производные F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂):

Подставив значения F₁(p) = F₁(p₂) = CU и F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂) в (7.30) получим оригинал тока

что полностью совпадает с ранее полученным уравнением (6.68).

Из рассмотренного примера хорошо видны преимущества операторного метода: простота, отсутствие громоздких операций по определению постоянных интегрирования. Следует подчеркнуть, что базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами. При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изображениями I(p) и U(p), индуктивность L заменяется на pL, а емкость С — на 1/pC при нулевых начальных условиях. Если начальные условия ненулевые, то последовательно с pL добавляется источник напряжения Li(0), а с С — источник напряжения — u_C(0)/р (рис. 7.5)

* Возможны схемы замещения заряженной емкости u_C(0) и индуктивности с током i_L(0) с помощью источников тока с задающими токами Cu_C(0) и i_L(0)/p соответственно.

Например, эквивалентная операторная схема для цепи, изображенной на рис. 6.17, будет иметь вид (рис. 7.6). Составив для этой схемы уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, получим систему алгебраических уравнений, решение которых существенно проще системы (6.86).

Операторный метод можно использовать и для решения уравнения состояния цепи. При этом уравнение состояния (6.94) с учетом свойств дифференцирования оригинала и линейности преобразования Лапласа примет вид:

где Х(р), W(p) — изображения векторов состояния x(t) и входных воздействий W(t).

Из (7,38) получаем непосредственно решение

где I — единичная матрица. Применив к (7.39) теорему разложения, можно получить искомый вектор состояния

Переходные процессы при включении на постоянное напряжение разомкнутой и замкнутой на конце линии

При
замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение
в начале линии сразу же достигает
величины
,
и возникают
прямые волны прямоугольной формы
напряженияи
тока,
перемещающиеся вдоль линии со скоростью
V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до
которых волна еще не дошла, напряжение
и ток равны нулю.Точка, ограничивающая
участок линии, до которого дошла волна,
называетсяфронтом волны.В
рассматриваемом случае во всех точках
линии, пройденных фронтом волны,
напряжение равно,
а ток -.

Отметим,
что в реальных условиях форма волны,
зависящая от внутреннего сопротивления
источника, параметров линии и т.п., всегда
в большей или меньшей степени отличается
от прямоугольной.

Кроме
того, при подключении к линии источника
с другим законом изменения напряжения
форма волны будет иной. Например, при
экспоненциальном характере изменения
напряжения источника (рис. 4,а) волна
будет иметь форму на рис. 4,б.

В
рассматриваемом примере с прямоугольной
волной напряжения при первом пробеге
волны напряжения и тока (см. рис. 3,а)
независимо от нагрузки имеют значения
соответственно
и,
что связано с тем, что волны еще не дошли
до конца линии, и, следовательно, условия
в конце линии не могут влиять на процесс.

В
момент времени
волны
напряжения и тока доходят до конца линии
длиной l, и нарушение однородности
обусловливает появление обратных
(отраженных) волн. Поскольку в конце
линия разомкнута, то

откуда
и.

В
результате (см. рис. 3,б) напряжение в
линии, куда дошел фронт волны, удваивается,
а ток спадает до нуля.

В
момент времени
,
обратная волна напряжения, обусловливающая
в линии напряжение,
приходит к источнику, поддерживающему
напряжение.
В результате возникает волна напряженияи
соответствующая волне тока(см.
рис. 3,в).

В
момент времени
волны
напряжения и тока подойдут к концу
линии. В связи с ХХи(см.
рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала
линии, напряжение и ток в ней окажутся
равными нулю. Следовательно, с этого
момента переходный процесс будет
повторяться с периодичностью.

В
случае короткозамкнутой на конце линии
в интервале времени
картина
процесса соответствует рассмотренной
выше. При,
поскольку в конце линиии,
что приведет к возрастанию тока в линии
за фронтом волны до величины.
Приот
источника к концу линии будет двигаться
волна напряженияи
соответствующая ей волна тока,
обусловливающая ток в линии, равный,
и т. д. Таким образом, при каждом пробеге
волны ток в линии возрастает на.

Отметим,
что в реальном случае, т.е. при наличии
потерь мощности, напряжение в линии в
режиме ХХ постепенно выйдет на уровень,
определяемый напряжением источника,
а ток в режиме КЗ ограничится активным
сопротивлением и проводимостью линии,
а также внутренним сопротивлением
источника.

ПОНЯТИЕ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Установившимися называются процессы, при которых напряжения и токи в цепи являются неизменными (постоянными) или синусоидальными периодическими. Переходным называют процесс в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Такой процесс возникает, например, при резком изменении сопротивления цепи. Если в электрической цепи имеются только источники ЭДС или тока и активные сопротивления, то переход от одного установившегося режима к другому происходит мгновенно, т. е. без переходного процесса. Возникновение переходного процесса объясняется тем, что в индуктивностях и емкостях цепи энергия не может измениться мгновенно, т. е. скачком. Для того чтобы в цепи с индуктивностью или емкостью токи или напряжения перешли от одного установившегося значения к другому, требуется время.

Длительность переходного процесса теоретически равна бесконечности. В практических расчетах с погрешностью до 3% полагают эту длительность равной Зτ, где τ — постоянная времени цепи. В расчетах с погрешностью до 1 % длительность переходного процесса считают равной 5τ.

В основу расчетов переходных процессов положены законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток в цепи с индуктивностью не может измениться скачком.

Второй закон коммутации: напряжение на емкости не может измениться скачком.

Физический смысл первого закона коммутации заключается в том, что запас энергии в индуктивности определяется током в ней, т. е.

W_L = Li2/2.

Так как энергия не может изменяться скачком, то, следовательно, и ток в индуктивности не изменяется скачком.

Запас энергии в емкости определяется напряжением на ней, т. е.

W_C = Cu2/2.

Так как энергия не может измениться скачком, то, следовательно, напряжение на емкости не изменяется скачком.

Рассмотрим простейший пример переходного процесса: включение RL-цепи на постоянное напряжение U с помощью ключа S (рис. 1а).

Рис. 1. Пример переходного процесса

В этом случае до замыкания ключа ток в цепи отсутствует (I_∞1=0), т. е. первый (исходный) установившийся режим заключается в равенстве тока нулю. Второй установившийся режим заключается в прохождении по цепи тока I_∞2= U/R (индуктивность для постоянного тока не представляет сопротивления). В переходном процессе ток i в цепи плавно возрастает по экспоненциальному закону от нулевого значения (первый режим) до значения U/R (второй режим).

Ток в цепи называется переходным и описывается выражением

Можно представить, что ток в цепи состоит из двух составляющих (рис. 1б):

i_пр+i_св

где i_пр = I_∞2 —принужденный; i_CB = I_∞2e-tTa — свободный.

Здесь е = 2,72… — основание натуральных логарифмов; T_a=L/R —постоянная времени цепи.

На рис. 1б приведены временные диаграммы переходного тока и его принужденной и свободной составляющих.

В электрических сетях при КЗ Т_а = 0,3 + 0,01 с, в распределительных сетях Т_а=0,05 с.

Переходные процессы в сложных электрических цепях при включении на постоянное или синусоидальное питающее напряжение рассчитывают с помощью операционного исчисления, а при включении на напряжение произвольной формы — при помощи интеграла Дюамеля.

Процессы в цепях при прохождении по ним коротких импульсов (длительностью в единицы — сотни микросекунд) называются волновыми. Волновые процессы возникают, например, при ударах молнии в линию, а также при коммутациях (включениях и отключениях) электрических цепей с индуктивными или емкостными элементами. Опасность волновых процессов заключается в возможности появления во время их существования импульсных перенапряжений, не допустимых для изоляции электротехнического оборудования. С целью защиты оборудования от таких перенапряжений устанавливают специальные устройства — разрядники и ограничители перенапряжений (ОПН).

Как починить гнездо для зарядки телефона

Чтобы отремонтировать сломанное гнездо аккумулятора смартфона, необходимы следующие инструменты:

острый тонкий нож или пластиковая карта;
несколько маленьких крестовых отвёрток;
провод на минус;
новый USB-порт;
паяльник;
пинцет.

Пошаговая инструкция ремонта гнезда для зарядки:

Разбираем корпус портативного гаджета, используя при этом отвёртки и острый тонкий нож или пластиковую карту.
Обязательно следует припаять провод на минус с корпусом телефона, а второй конец присоединить к паяльнику. Это действие поможет избежать удара током.
Маленькой крестовой отвёрткой нужно извлечь винты, которые придерживают материнскую плату устройства.
Достать открученное комплектующие.
Найти USB-разъём на материнской плате.
Аккуратно извлечь сломанное гнездо зарядки при помощи паяльника.
Впаять новый USB-порт.

После выполнения всех этапов собираем мобильное устройство в единое целое. Если инструкция была выполнена правильно, то зарядка телефона будет проходить без проблем.

Два закона коммутации

В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственно после коммутации в момент, который и назван моментом коммутации t=0+ , или, короче, t=0, сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t=0-, и дальше начинает изменяться именно с этого значения:

Так, при включении ветви с катушкой, в которой не было тока, ток в этой ветви в момент коммутации равен нулю. Если для такой ветви допустить, что в момент коммутации ток изменится скачком, то напряжение на индуктивном элементе будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться второй закон Кирхгофа.
На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения:

Так, при включении ветви с конденсатором, который не был заряжен, напряжение на конденсаторе в момент коммутации равно нулю. Если допустить, что в момент коммутации напряжение на емкостном элементе изменяется скачком, то ток будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться опять-таки второй закон Кирхгофа.

С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока и напряжения объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии (энергии магнитного поля и энергии электрического поля ). Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей, что лишено физического смысла, так как реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью и не могут ее обеспечить.

В этом разделе рассматриваются переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Поэтому исключается из рассмотрения нелинейный элемент — электрическая дуга, которая может возникнуть при коммутациях. Чтобы исключить влияние дуги, будем считать, что длительность коммутации по сравнению с продолжительностью переходного процесса очень мала, т. е. теоретически мгновенная.

Записанные выше законы коммутации для тока и напряжения в ветвях, содержащих реактивные элементы, при некоторых коммутациях не выполняются. Такие коммутации называют «некорректными» (приводят к требованию скачкообразных изменений токов и напряжений ). Расчет переходных процессов в таких цепях рассматривается в разделе.

Дополнительно по теме

Переходные процессы в электрических цепях
Переходный, установившийся и свободный процессы
Короткое замыкание rL-цепи
Включение rL-цепи на постоянное напряжение
Включение rL-цепи на синусоидальное напряжение
Короткое замыкание rС-цепи
Включение rC-цепи на постоянное напряжение
Включение rC-цепи на синусоидальное напряжение
Переходные процессы в rС-цепи
Апериодическая разрядка конденсатора
Предельный случай апериодической разрядки конденсатора
Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора
Включение rLC-цепи на постоянное напряжение
Общий случай расчета переходных процессов классическим методом
Пример классического метода
Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью
Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения
Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы
Переходная и импульсная переходная характеристики
Запись интеграла Дюамеля при помощи импульсной переходной характеристики
Метод переменных состояния
Численные методы решения уравнений состояния
Дискретные модели электрической цепи
Переходные процессы при некорректных коммутациях
Определение переходного процесса при воздействии периодических импульсов напряжения

Общие понятия о параллельной работе электрических машин

Под параллельной работой нескольких трансформаторов понимается такая работа, когда их вторичные обмотки подключены к общей нагрузки, а первичные обмотки получают питание от одной сети. Параллельная работа находит широкое применение в электрических системах. При параллельной трансформатора следует стремится к тому, что бы каждый из них был нагружен токами, пропорциональными их номинальным мощностям. Для этого необходимо, что бы трансформаторы, включаемые на параллельную работу, имели равные первичные и вторичные номинальные напряжения, а как следствия и одинаковые коэффициенты трансформации, одинаковые группы соединения обмоток, одинаковые напряжения КЗ , ΔPкз→min.

Параллельная работа генераторов постоянного тока

Под параллельной работой понимается работа нескольких генераторов на общую нагрузку. Необходимость в параллельной работе возникает при переменном характере нагрузки, когда она меняется в течении суток или времени года, и для повышения надежности питания.

1.1. Общие сведения

Процесс
перехода режима работы электрической
цепи от одного к другому называетсяпереходным.
В течение переходного процесса мгновенные
значения напряжений и токов не являются
периодическими функциями времени.

Переходный
процесс может быть вызван различными
причинами: например, подключением цепи
к источникам, изменением параметров
элементов или схемы цепи. В общем случае
в электротехнике принято, что возникновение
переходного процесса связано с явлениемкоммутации.
Принимается допущение, что коммутация
начинается в момент времениt
(обычноt

0) и совершается мгновенно:t

0. При этом различают два момента
времени: момент времени

непосредственно
предшествующий коммутации–
обозначается как

,
или,
или,
или;
и момент времени непосредственно
после коммутации – обозначается как,
или,
или,
или.

На рис. 1.1 показан
характер изменения тока и напряжения
на участке цепи. В момент времени t

0 произошла коммутация. Напряжение
в моменткоммутации
не изменилось:,
ток – изменился скачком:

Рис. 1.1

Энергия

LСqCu_C

При мгновенной
коммутации W_М(–0)
W_М(+0);W_Эл(–0)
W_Эл(+0),
т. е. энергия, запасенная в магнитном
или электрическом поле, в момент
коммутации скачком не меняется. Это
положение постулируетсяпринципами
непрерывности потокосцепленияиндуктивности и электрического зарядаq
емкости. Действительно, при скачкообразном
изменении потокосцеплениянапряжение,а при скачкообразном
изменении электрического зарядаqток емкости.
То и другое лишено физического смысла.

Поскольку,
то при неизменномLток в индуктивности не может меняться
скачком. Отсюда следует закон коммутации
для ветви с индуктивностью:в
момент коммутации ток в ветви с
индуктивностью скачком не меняется и
в переходном процессе начинает изменяться
с того значения, которое было в момент
времени, непосредственно предшествующий
коммутации, т. е..

Из равенства q
Cu_Cследует, что при неизменной величинеСнапряжениеu_Сне может меняться скачком. Отсюда следует
закон коммутации для емкости:в
момент коммутации напряжение на емкости
скачком не меняется и в переходном
процессе начинает изменяться с того
значения, которое было в момент времени,
непосредственно предшествующий
коммутации, т. е..

Значения
тока в индуктивности

независимыми
физическими начальными условиями

Математическая
модель цепи в переходном процессе
строится на основе
уравнений по
законам Кирхгофа и уравнений идеальных
элементов R,L,C.
Если положительные
направления напряжения и тока на элементе
одинаковы, то уравнения идеальных
элементов имеют вид:

для активного
сопротивления (резистора);