Когерентные волны: определение, пакеты, время

Квантовая когерентность

Согласно квантовой механике , все объекты могут иметь волновые свойства (см. Волны де Бройля ). Например, в эксперименте Юнга с двойной щелью электроны можно использовать вместо световых волн. Волновая функция каждого электрона проходит через обе щели и, следовательно, имеет два отдельных разделенных луча, которые вносят вклад в картину интенсивности на экране. Согласно стандартной волновой теории эти два вклада приводят к диаграмме интенсивности ярких полос из-за конструктивной интерференции, чередующихся с темными полосами из-за деструктивной интерференции, на экране ниже по потоку. Эта способность к интерференции и дифракции связана с когерентностью (классической или квантовой) волн, генерируемых на обеих щелях. Связь электрона с волной уникальна для квантовой теории.

Когда падающий луч представлен квантовым чистым состоянием , разделенные лучи после двух щелей представлены как суперпозиция чистых состояний, представляющих каждый разделенный луч. Квантовое описание несовершенно когерентных путей называется смешанным состоянием . Совершенно когерентное состояние имеет матрицу плотности (также называемую «статистическим оператором»), которая является проекцией на чистое когерентное состояние и эквивалентна волновой функции, в то время как смешанное состояние описывается классическим распределением вероятностей для чистых состояний, которое составить смесь.

Квантовая когерентность в макроскопическом масштабе приводит к новым явлениям, так называемым макроскопическим квантовым явлениям . Например, лазер , сверхпроводимость и сверхтекучесть являются примерами высокогерентных квантовых систем, эффекты которых очевидны на макроскопическом уровне. Макроскопическая квантовая когерентность (недиагональный дальний порядок, ODLRO) для сверхтекучести и лазерного света связана с когерентностью первого порядка (1-тела) / ODLRO, в то время как сверхпроводимость связана с когерентностью второго порядка / ODLRO. (Для фермионов, таких как электроны, возможны только четные порядки когерентности / ODLRO.) Для бозонов конденсат Бозе – Эйнштейна является примером системы, демонстрирующей макроскопическую квантовую когерентность через многократно заполненное одночастичное состояние.

Классическое электромагнитное поле демонстрирует макроскопическую квантовую когерентность. Самый очевидный пример — несущий сигнал для радио и телевидения. Они удовлетворяют квантовому описанию когерентности Глаубера .

Недавно М.Б. Пленио и его сотрудники построили операциональную формулировку квантовой когерентности как теории ресурсов. Они ввели монотоны когерентности, аналогичные монотонам сцепленности. Было показано, что квантовая когерентность эквивалентна квантовой запутанности в том смысле, что когерентность может быть точно описана как запутанность, и, наоборот, каждая мера запутанности соответствует мере когерентности.

Интерференция волн. Принцип суперпозиции для волн. Когерентные волны.

Волновые свойства
света наиболее отчетливо обнаруживают
себя в интерференции и дифракции. Эти
явления характерны для волн любой
природы и сравнительно просто наблюдаются
на опыте для волн на поверхности воды
или для звуковых волн. Наблюдать же
интерференцию и дифракцию световых
волн можно лишь при определенных
условиях. Свет, испускаемый обычными
(нелазерными) источниками, не бывает
строго монохроматическим. Поэтому для
наблюдения интерференции свет от одного
источника нужно разделить на два пучка
и затем наложить их друг на друга.
Существующие экспериментальные методы
получения когерентных пучков из одного
светового пучка можно разделить на два
класса.

В методе деления
волнового фронта
пучок пропускается, например, через два
близко расположенных отверстия в
непрозрачном экране. Такой метод пригоден
лишь при достаточно малых размерах
источника.

В другом методе
пучок делится на одной или нескольких
частично отражающих, частично пропускающих
поверхностях. Этот метод
деления амплитуды
может применяться и при протяженных
источниках.

Если частоты волн
одинаковые, то зависимость от времени
будет определяться только разностью
начальных фаз колебаний
и,
каждая из которых в волнах от независимых
источников случайным (хаотичным) образом
меняется во времени. Если удастся каким
либо образом согласовать колебания
так, чтобы эта разность не зависела от
времени, или медленно менялась во
времени, то интенсивность результирующей
волны уже не будет равна сумме
интенсивностей падающих волн и можно
записать:

Такие «согласованные»
по фазе волны называют когерентными.

Таким образом, две
волны будут когерентными, если слагаемое
,
описывающее перераспределение
интенсивности в пространстве, не
обращается в нуль.

Когерентными
являются, например, одинаково поляризованные
волны, если их частоты одинаковы, а
разность начальных фаз не зависит от
времени. Так как начальная фаза каждого
цуга волн – случайная функция времени,
то для получения когерентных колебаний
необходимо как-то разделить одну световую
волну от источника на две, и тогда
разность начальных фаз будет равна
нулю. Знак усреднения можно снять и
записать

где.
Величинуможно рассматривать как разность
расстояний, пройденных волнами от
источника до места встречи. Эту разность,
умноженную на показатель преломлениясреды, называют оптической разностью
хода,
а-
разностью их фаз в момент встречи. Таким
образом, в зависимости от разности фаз
или, что тоже самое, в зависимости от
разности хода интенсивность в различных
точках пространства может изменяться
от минимального значения

соответствующего
до максимального значения

соответствующего
.
Здесь целое число.

Явление, при
котором в некоторых точках пространства
интенсивность света уменьшается, а в
некоторых увеличивается, то есть
происходит перераспределение интенсивности
в результате сложения волн, называетсяинтерференцией.
В области совместного существования
двух когерентных волн можно наблюдать
интерференционную картину в виде светлых
и менее светлых (иногда — темных) полос.
Величина
,
определяемая соотношением

называется
контрастностью полос.

Когерентные волны – это колебания, разность фаз которых постоянна. Разумеется, условие может выполняться не в каждой точке пространства, а лишь на некоторых участках. Очевидно, что для удовлетворения определению, частоты колебаний также должны быть равными. Прочие волны могут быть когерентны только лишь на некотором участке пространства, а дальше разность фаз меняется, и это определение использовать уже нельзя.

Приложения

Голография

Когерентные суперпозиции оптических волновых полей включают голографию . Голографические объекты часто используются в повседневной жизни на телевидении и для защиты кредитных карт.

Неоптические волновые поля

Дальнейшие приложения касаются когерентной суперпозиции неоптических волновых полей . В квантовой механике, например, рассматривается поле вероятности, которое связано с волновой функцией (интерпретация: плотность амплитуды вероятности). Здесь приложения касаются, среди прочего, будущих технологий квантовых вычислений и уже доступной технологии квантовой криптографии . Дополнительно рассматриваются проблемы следующего подраздела.
ψ(р){\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}

Модальный анализ

Когерентность используется для проверки качества измеряемых передаточных функций (FRF). Низкая когерентность может быть вызвана плохим отношением сигнал / шум и / или неадекватным разрешением по частоте.

Ряды Фурье

Синусоидальная плоская волна абсолютно когерентна в пространстве и времени, а ее длина, время и площадь когерентности бесконечны. Все реальные волны являются волновыми импульсами, длящимися в течение конечного интервала времени и имеющими конечный перпендикуляр к их направлению распространения. Математически они описываются непериодическими функциями. Для нахождения частот, присутствующих в волновых импульсах для определения Δω и длины когерентности необходимо провести анализ непериодических функций.

Согласно анализу Фурье, произвольную периодическую волну можно рассматривать как суперпозицию синусоидальных волн. Синтез Фурье означает, что наложение множества синусоидальных волн позволяет получить произвольную периодическую форму волны.

Определения

Вначале введём ряд определений:

Монохроматической называется волна единственной частоты. Ширина её спектра равна нулю. На графике это единственная гармоника.
Спектр сигнала – графическое представление амплитуды слагающих гармоник, где по оси абсцисс (ось Х, горизонтальная) откладывается частота. Спектром синусоидального колебания (монохроматической волны) становится единственная спектринка (вертикальная чёрточка).
Преобразованиями Фурье (обратным и прямым) называют разложение сложного колебания на монохроматические гармоники и обратное сложение целого из разрозненных спектринок.
Волновой анализ цепей для сложных сигналов не проводится. Вместо этого происходит разложение на отдельные синусоидальные (монохроматические) гармоники, для каждой сравнительно просто составить формулы описания поведения. При расчёте на ЭВМ этого хватает для анализа любых ситуаций.
Спектр любого непериодического сигнала бесконечен. Границы его обрезаются до разумных пределов перед проведением анализа.
Дифракцией называется отклонение луча (волны) от прямолинейной траектории вследствие взаимодействия со средой распространения. К примеру, проявляется при преодолении фронтом щели в препятствии.
Интерференцией называется явление сложения волн. Из-за чего наблюдается весьма причудливая картина из чередующихся полос света и тени.
Рефракцией называется преломление хода волны на разделе двух сред с различными параметрами.

Волны колебаний

Зачем это нужно

Когерентные волны являются упрощением, реально не встречающимся на практике. Как бы то ни было, эта математическая абстракция помогает во многих отраслях науки, таких как, космос, термоядерные и астрофизические исследования, акустика, музыка, электроника и, конечно же, оптика.

Для реальных приложений применяются упрощённые методы, одним из которых является трёхволновая система, основы применимости которой вкратце изложены ниже. Для анализа взаимодействия можно задать, к примеру, гидродинамическую или кинетическую модель.

Решение уравнений для когерентных волн позволяет также предсказать устойчивость систем, функционирующих с использованием плазмы. Теоретический подсчёт показывает, что в некоторых случаях амплитуда результата за короткий период растёт до бесконечности. Что означает создание взрывоопасной ситуации. Решая уравнения для когерентных волн, можно подбором условий избежать неприятных последствий.

Два типа когерентности

Давайте рассмотрим простой пример. Представьте себе два поплавка, поднимающиеся и опускающиеся на поверхности воды. Предположим, что источником волн является единственная палка, которую гармонически погружают и вынимают из воды, нарушая спокойную гладь водной поверхности. При этом существует идеальная корреляция между движениями двух поплавков. Они могут не подниматься и опускаться точно по фазе, когда один идет вверх, а второй вниз, но разность фаз между позициями двух поплавков постоянна во времени. Гармонически колеблющийся точечный источник производит абсолютно когерентную волну.

Когда описывают когерентность световых волн, различают два ее типа – временную и пространственную.

Когерентность относится к способности света производить интерференционную картину. Если две световые волны сведены вместе, и они не создают областей повышенной и уменьшенной яркости, они называются некогерентными. Если они производят «идеальную» интерференционную картину (в смысле существования областей полной деструктивной интерференции), то они являются полностью когерентными. Если две волны создают «менее совершенную» картину, то считается, что они частично когерентны.

Примеры волновых состояний

Эти состояния объединяет то, что их поведение описывается волновым уравнением или каким-либо его обобщением.

Волны в канате (вверх и вниз) или обтягивающие (сжатие и расширение)
Поверхностные волны в жидкости
Электромагнитные сигналы (поля) в линиях передачи
Звук
Радиоволны и микроволны
Световые волны ( оптика )
Электроны , атомы и любой другой объект (например, бейсбольный мяч), как описано в квантовой физике.

В большинстве этих систем можно напрямую измерить волну. Следовательно, его корреляцию с другой волной можно просто рассчитать. Однако в оптике невозможно измерить электрическое поле напрямую, поскольку оно колеблется намного быстрее, чем разрешение любого детектора по времени. Вместо этого измеряется интенсивность света. Большинство концепций, связанных с когерентностью, которые будут представлены ниже, были разработаны в области оптики, а затем использовались в других областях. Следовательно, многие стандартные измерения когерентности являются косвенными измерениями даже в тех областях, где волна может быть измерена напрямую.

Условие когерентности

Световые волны, излучаемые двумя краями источника, в некоторый момент времени t обладают определенной разностью фаз прямо в центре между двумя точками. Луч, идущий от левого края δ до точки P2 должен пройти на d(sinθ)/2 дальше, чем луч, направляющийся к центру. Траектория луча, идущего от правого края δ до точки P2, проходит путь на d(sinθ)/2 меньше. Разность пройденного пути для двух лучей равна d·sinθ и представляет разность фаз Δф» = 2πd·sinθ / λ. Для расстояния от P1 до P2 вдоль фронта волны мы получаем Δφ = 2Δφ»= 4πd·sinθ / λ. Волны, испускаемые двумя краями источника, находятся в фазе с P1 в момент времени t и не совпадают по фазе на расстоянии 4πdsinθ/λ в Р2. Так как sinθ ~ δ / (2L), то Δφ = 2πdδ / (Lλ). Когда Δφ = 1 или Δφ ~ 60°, свет больше не считается когерентным.

Δφ = 1 -> d = Lλ / (2πδ) = 0,16 Lλ / δ.

Пространственная когерентность говорит об однородности фазы волнового фронта.

Лампа накаливания является примером некогерентного источника света.

Когерентный свет можно получить от источника некогерентного излучения, если отбросить большую часть излучения. В первую очередь производится пространственная фильтрация для повышения пространственной когерентности, а затем спектральная фильтрация для увеличения временной когерентности.

Что такое временная когерентность

Данный тип когерентности характеризуется длиной и продолжительностью. Она возникает тогда, когда мы имеем дело с немонохромным точечным источником света. Примером могут быть полосы, наблюдаемые при интерференции в специальном приборе – интерферометре Майкельсона: чем выше оптическая разность, тем менее четкими становятся полосы (вплоть до полного исчезновения). Основная причина временной когерентности света лежит в длине источника и конечном времени свечения.

Рассматривать когерентность можно с точки зрения двух подходов. Первый принято называть фазовым, а второй частотным. Фазовый подход заключается в том, что частоты формул, описывающих колебательные процессы в определенной точке пространства, возбуждаемые двумя накладывающимися волнами, будут постоянными и равными друг другу ω1=ω2.

Важно, что δ(t)=α2(t)-α1(t). Здесь выражение 2I1I2cos δ (t) – это так называемый интерференционный член

Если мы измеряем процесс интерференции каким-либо прибором, необходимо учитывать, что он в любом случае будет иметь время инерции. Время срабатывания прибора можно обозначить как ti. Тогда если за время, равное ti, cos δ (t) будет принимать значения в интервале от минус единицы до плюс единицы, то 2I1I2cos δ t=.

В таком случае исследуемые волны когерентными не являются. Если же за указанное время величина cos δ (t) сохраняется практически неизменной, то интерференция становится очевидной, и у нас получаются когерентные волны.

Из всего этого можно сделать вывод об относительности понятия когерентности. При малой инерционности прибора интерференция, как правило, обнаруживается, а если прибор обладает большим временем инерции, то нужную картину мы можем просто не увидеть.

Определение 2

Время когерентности, обозначаемое как tkog – это такое время, за которое происходит случайное изменение фазы волны a(t), примерно равное π.

Если ti≪tkog, то в приборе становится видно четную интерференционную картину.

Определение 3

Длина когерентности – это определенное расстояние, при перемещении по которому фаза претерпевает случайное изменение, примерно равное π.

Если мы делим естественную световую волну на две части, то для того, чтобы увидеть интерференцию, нужно сохранить оптическую разность хода меньше, чем lkog.

Время когерентности имеет зависимость от интервала частот, а также от длины волн, представленных в общей световой волне.

Временная когерентность связана с разбросом величин модуля волнового числа k→.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Когерентный источник

Получение когерентных волн методом Юнга. а непрозрачная преграда с двумя щелями, 6 интерференция на щелях.

Когерентные источники — такие источники, которые обеспечивают постоянную во времени разность фаз слагаемых волн в различных точках.

Получение когерентных волн методом Юнга. а непрозрачная преграда с двумя щелями, 6 интерференция на щелях.

Когерентные источники являются источниками когерентных волн.

Когерентные источники в оптике могут быть созданы только искусственным путем.

Когерентные источники света можно получить, разделив луч света, испускаемый каждым атомом одного источника, на две части и заставив обе части налагаться друг на друга после того, как они пройдут пути разной длины. Тогда для каждого цуга волн одной части будет один сходственный цуг в другой, и они будут способны интерферировать. Кроме того, разность хода не должна быть слишком большой ( не более 1 м), чтобы каждый цуг первой части излучения мог встретиться со сходственным когерентным цугом второй и чтобы время их наложения было достаточным для наблюдения интерференции.

Идеальный когерентный источник излучает свет строго одной частоты. Реальный лазер излучает спектр колебаний — спектральную линию, в которой присутствуют несколько частот.

Наложение волн, исходящих из отверстий Si и s2.

Когерентные источники колебаний можно, например, осуществить следующим образом: возьмем точечный источник S ( рис. 274), от которого распространяется сферическая волна. На пути волны поставлена преграда BB с двумя точечными отверстиями st и sa, расположенными симметрично по отношению к источнику S. Отверстия s4 и sa становятся, согласно принципу Гюйгенса, самостоятельными источниками колебаний, притом колеблющимися с одинаковой амплитудой и в одинаковых фазах, так как их расстояния от источника S одинаковы.

Когерентные источники белого света, расстояние между которыми 0 32 мм, имеют вид узких щелей. Экран, на котором наблюдают интерференцию света от этих источников, находится на расстоянии 3 2 м от них.

18.3. Многолучевая интерференция

Пусть в заданную точку экрана посылают световые волны N
источников одинаковой интенсивности (N > 2).

Предположим, что колебание, возбуждаемое каждым последующим
источником сдвинуто по фазе относительно предыдущего на δ.
Результирующую амплитуду A можно выразить через
A — амплитуду от
одного источника, используя метод векторной диаграммы (14.3.1,
).

Выразим A и A
через вспомогательный параметр R — радиус окружности,
на которой лежат начала и концы наших векторов:

После исключения R получим
амплитуду результирующего колебания:

Если δ = 0 (все колебания
имеют одинаковую фазу) полученное выражение становится неопределенным. Взяв
производную по δ от числителя и знаменателя,
найдем по правилу Лопиталя, что при δ = 0
амплитуда результирующего колебания:

Этот результат непосредственно очевиден из векторной диаграммы,
построенной для случая δ = 0, т.к. все
векторы будут направлены вдоль одной прямой. Интенсивность света ()
I ~ A2, следовательно:

При δ = 0:

Пространственная согласованность

В некоторых системах, таких как водные волны или оптика, волновые состояния могут распространяться на одно или два измерения. Пространственная когерентность описывает способность двух точек в пространстве, x ₁ и x ₂ , на протяженности волны интерферировать при усреднении по времени. Точнее, пространственная когерентность — это взаимная корреляция между двумя точками в волне для всех времен. Если волна имеет только одно значение амплитуды на бесконечной длине, она идеально пространственно когерентна. Диапазон разноса между двумя точками, в котором наблюдается значительная интерференция, определяет диаметр области когерентности A _c (длина когерентности, часто являющаяся характеристикой источника, обычно является промышленным термином, связанным со временем когерентности источника, а не область когерентности в среде.) A _c — соответствующий тип когерентности для двухщелевого интерферометра Юнга. Он также используется в оптических системах формирования изображений и, в частности, в различных типах астрономических телескопов. Иногда люди также используют «пространственную когерентность» для обозначения видимости, когда волнообразное состояние сочетается с пространственно смещенной копией самого себя.

Примеры

Рассмотрим нить накаливания вольфрамовой лампочки. Различные точки нити накала излучают свет независимо и не имеют фиксированного фазового соотношения. В частности, в любой момент времени профиль излучаемого света будет искажен. Профиль будет случайным образом меняться в течение времени согласования . Поскольку для источника белого света, такого как электрическая лампочка , мало, нить накала считается пространственно некогерентным источником. Напротив, антенная решетка радиоуправления имеет большую пространственную когерентность, потому что антенны на противоположных концах решетки излучают с фиксированным фазовым соотношением. Световые волны, создаваемые лазером, часто имеют высокую временную и пространственную когерентность (хотя степень когерентности сильно зависит от точных свойств лазера). Пространственная когерентность лазерных лучей также проявляется в виде спекл-структур и дифракционных полос по краям тени.
τc{\ displaystyle \ tau _ {c}}τc{\ displaystyle \ tau _ {c}}

Голография требует когерентного во времени и пространстве света. Его изобретатель Деннис Габор создал успешные голограммы более чем за десять лет до изобретения лазеров. Чтобы произвести когерентный свет, он пропустил монохроматический свет от линии излучения ртутной лампы через пространственный фильтр-точечный фильтр.

В феврале 2011 года сообщалось, что атомы гелия , охлажденные до состояния, близкого к абсолютному нулю / конденсата Бозе – Эйнштейна , можно заставить течь и вести себя как когерентный луч, как в лазере.

Когерентные волны